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Gabinete de Galileo en el Museo Técnico de Munich





planoinclinadogalileo.jpgSIGLO XVII

1600. EL EXPERIMENTO DEL PLANO INCLINADO
MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO
"La esfera adquiere su máxima aceleración cuando el plano se levanta a la posición vertical; esto es, la aceleración de Caída libre."

El experimento de Galileo, y muchos otros que arrojaron el mismo resultado, eran convincentes, pero Galileo no sabía por qué las aceleraciones eran iguales. La explicación es una aplicación directa de la segunda ley de Newton.
La segunda ley de Newton nos dice que también debemos tomar en cuenta su masa. Con un poco de reflexión resultará claro que una fuerza diez veces mayor que actúa sobre una cantidad de masa diez veces más grande produce la misma aceleración que la fuerza más pequeña que se ejerce sobre la masa más pequeña.



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Una rampa es un elemento arquitectónico que tiene la funcionalidad de circunvalar parcialmente dos planos distintos, de modo que éstos posean una relativa diferencia de altitud en determinado espacio.

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Constituida por un prisma lateral de Acero u otro material consistente, y se aplica para dividir un cuerpo en dos partes.
En este tipo de maquinas el grado de rozamiento es muy importante, ya que son más eficaces al ser más puntiagudas.Ejm: Imagen izquierda (Tijeras, Navajas, Flechas, cuchillo)

Es una forma de relieve producida por la erosión en aquellas partes donde los terrenos sedimentarios tienen sus capas ligeramente inclinadas. Éstas presentan un talud frontal y en la dirección opuesta, una ladera de escasa pendiente.




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Las leyes que rigen el comportamiento de los cuerpos en un plano inclinado fueron enunciadas por primera vez por el matemático Simon Stevin, en la segunda mitad del siglo XVI.

LEY DE EQUILIBRIO
SIMON STEVIN:
Simon Stevin (1548-1620). Fue contemporáneo de Kepler y de Galileo; matemático,físico e ingeniero, hizo avanzar la Mecánica, especialmente la Estática de sólidos y de fluidos.Introdujo el triángulo de fuerzas (ley del paralelogramo) y distinguió entre los equilibrios establese inestables. Estudió el plano inclinado y descubrió, antes que Galileo, que la velocidad de caída de los cuerpos es independiente de su peso.
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Introdujo un procedimiento aproximado para calcular raíces y a él se le debe la popularización del cálculo con fracciones decimales, aunque no la notación definitiva. Se interesó por ampliar los trabajos de Arquímedes sobre el equilibrio mecánico, y una de sus principales y controvertida contribución fue la solución del problema de equilibrio en un plano inclinado. Este problema, según información seria, no fue estudiado por Arquímedes, pero si fue tratado por Herón, aunque de manera errónea.
Este famoso problema de equilibrio en un plano inclinado se le conoce como: la Cadena de Stevin.

Planteamiento del problema:
Una cadena formada por por un cierto número finito de eslabones se coloca en un soporte prismático, formado por dos planos lisos AB y BC, tal como se muestra en la figura 1. ¿Qué sucederá cuando haya más eslabones de la cadena en el lado más largo BC del prisma, que en el más corto AB?

¡Una suposición plausible...planteada por Herón!
Se podría pensar que, a causa de la diferencia de pesos, la cadena comenzaría a moverse de la siguiente manera: el tramo AB con dirección hacia arriba, el tramo BC hacia abajo y el tramo AC, de manera muy especial de C a A conservando su forma geométrica. En resumen, toda la cadena giraría en el sentido horario; pero como la cadena es continua, este movimiento nunca se detendría y la cadena giraría de manera perpetua.

¡Si Herón hubiera tenido la razón...!Si los argumentos expuestos en el párrafo anterior fueran verdaderos, apelando a la inteligencia de buenos ingenieros, podríamos añadir a este aparato algunos elementos mecánicos complementarios, como ruedas dentadas y engranajes; y a partir de estos elementos hacer girar todo género de maquinaria por un período indefinido de tiempo. ¡Sin esfuerzo y sin combustible alguno!. De este modo obtendríamos trabajo realizado a partir de la nada y con un poco de ingenio podríamos sacar a nuestro país, en menos de una semana, de esta terrible crisis que lo agobia y ...seriamos felices sin trabajar por el resto de nuetros días (¿?).


Y aparece Stevin ...el Matasueños de Herón¿Cómo procedió Stevin para demostrar que este sistema mecánico está en equilibrio y que no puede tener movimiento perpetuo?
Lo primero que estableció fue una suposición bajo la cual pudiera desarrollar un esquema matemático, que le permitiera relacionar el equilibrio de las fuerzas actuantes en el sistema con la geometría del mismo, es decir algunas relaciones entre cantidades físicas, como son los pesos de los tramos de cadena, las normales ejercidas por los planos sobre los tramos de cadena, entre otras fuerzas; con los elementos geométricos asociados con los planos inclinados tales como los catetos, hipotenusas y ángulos que lo conforman.
El siguiente desarrollo constituye una forma de cómo procedió el Sr. Stevin ante este problema.


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Planteamiento de las ecuaciones de equilibrio

Para el tramo de cadena AB de peso WAB, de acuerdo al marco de referencia indicado, se tienen las siguientes ecuaciones
_
Fx = 0; TB − TA −WABsenα = 0 (1)
_
Fy = 0; NAB −WAB cos α = 0 (2)


NAB, corresponde a la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el tramo de cadena AB.
Para el tramo de cadena BC de peso WBC.
_
Fx = 0; TC +WBCsenβ − TB = 0 (3)
_
Fy = 0; NBC −WBC cos β = 0 (4)


Del mismo modo, NBC corresponde a la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el tramo de cadena BC.
Para el tramo de cadena AC de peso WAC. En las direcciones vertical y horizontal se tiene:
_
Fy = 0; TAV + TCV −WAC = 0 (5)
_
Fx = 0; TCH − TAH = 0 (6)


Debido a la simetría de la configuración del tramo colgante 1, se tiene que las reacciones verticales en los puntos A y C son iguales, es decir TAV = TCV, por lo que de las ecuaciones (5) y (6) se tiene

TAV = TCV =WAC/2 y TAH = TCH


Conclusiones :
El establecimiento de las ecuaciones (9) :

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y (13)
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Verifican la hipótesis acerca de que el sistema mecánico se encuentra en equilibrio, ya que su manipulación matemática conduce a una certeza matemática dada por un teorema muy conocido como la ley de los senos, tal como se muestra a continuación.
De la ecuación (9) se tiene
BCsenβ = ABsenα = BP, es decir BCsenα=ABsenβ (14)
Si el punto R que pertenece al segmento BC es tal que AR es perpendicular a BC, también se puede establecer la relación
ACsenβ = ABsenγ = AR, es decir ACsenγ=ABsenβ (15)
donde γ es el ángulo que forman los lados BA y BC es decir γ = 180◦− α − β.
De las ecuaciones (14) y (15) se obtiene la ley de los senos BCsenα=ABsenβ=ACSenγ


Es importante observar que la ley de los senos se verifica, en virtud del establecimiento de las ecuaciones de equilibrio de dos tramos de cadena, uno en la dirección del plano inclinado AB y el otro en la dirección de BC y la otra ecuación del tramo colgante AC sirvió para relacionar
estas dos últimas.